単純に解像度の高いディスプレイでプレイすればよい。

それが駄目ならフルスクリーンだ。

①フルスクリーンモードで遊ぶ。
②タスクバーを自動で隠す設定にする。
③ノートPCの解像度を上げる。

②番をお勧めする。
やり方はタスクバーを右クリ、プロパティ、タスクバーを自動で隠すのチェックボックスにチェックを入れる。
タスクバー？それくらいググって調べましょう。

サブPCの解像度が4：3の比率になってないからかな・・・？
今のTWはワイドスクリーンにも対応していますが、PCの解像度によってはうまくかみあわない場合があります。
私のPC環境は解像度1280×1024で、TWの設定は1024×768（基本値）にしてあります。
一度サブPCの解像度を確認して、TWの環境設定と照らしあわせて変更してみてください。

私もフルスクリーンモードにすれば良いのでは？と思ったのですが

追記で、「サブＰＣにてウィンドウモードにしましたが」　と書いてあるという事は、
最初に書いていた、「プレイ画面の下部が完全に見えない状態です。」　というのは、フルスクリーンモードでの場合という事でしょうか。

フルスクリーンモードでそんな風になるのは、PCのスペック（グラフィックボードやアクティブXなど）が不足しているのか、
解像度がとても低く設定されている？のか、

「メインPCの状態をサブに移す」（設定ファイルの場所）は調べてないので分からないのですが、
他のソフトでよく見かける設定ファイルは、専用の拡張子（iniとか）で保存されていたりしますので
「拡張子」でググると見つかるかもですね。

たいした解決策思いつかなくて申し訳ないのですが
よければ、現状のPCのスペック、解像度の設定、フルスクリーンは試したのか、他に何を試したのか、など追記して頂くとレスつくかもです。

ファイルの意味などを考えて
Config
GameOption
TW_Window
あたりのファイルを移行したらいいんじゃないかなぁ。
TW_Windowの中身を見てみたらQuickSlotWindowなんて文字列がいっぱいあったから行けそう・・・？ｗ
あと移す際には多分ゲームの解像度ごとの設定があると思うのでサブPCで使う設定と同じ解像度にしてからやらないと効果はないかもしれません。

TalesWeaverのプロパティ　互換性４６０×480の解像度で実行にチェックをつけた後ＨＰからログインでダメですか？

正直お手上げ。
どのファイルがなんの環境を保持しているのかとかはさっぱりわかりません。
アップデートが上手く行かなかった時のために上で言った３つのファイルと.profileファイル（とScreenShotフォルダ）を、バックアップしてて困ったことがないのでそれ以上のことはわからないんですよね。
もう一つイニシャライズファイルがあるけどログインしても更新されてる様子はないし。
ただ、一度ウィンドウを動かしてからクライアントを終了させて、バックアップファイルを移したら元には戻ったんですね。
それが単に初期化されたのか位置情報が新たに読み込まれたのかは判りかねます。

スレ主さんの仰るとおり、画面解像度がTWの設定範囲外であることが原因。
ワイド画面設定にすると今度は左右が切れてマトモにゲームできなくなります（毎回ゲーム画面を移動する手間を惜しまなければいけますが）。また、解像度変更を行うとチャットウィンドウなどの位置は初期化されます。

普通の方法ではムリ…ですが、jazzcatさんの方法ならもしかしたらいけるかも。キーワードは「仮想デスクトップ」です。仮想デスクトップになって、かつTWが動作するようなら、拡張された画面部分を利用してチャットウィンドウなどを移動できると思います。

Atom搭載PCでしたら、恐らくノートPC。もしかすると標準で仮想デスクトップに対応しているかも。
対応している場合は、画面解像度を標準より大きく（例えば1600x900など）に設定してみましょう。マウスを画面端(下とか右)まで動かすだけで画面自体がずれるようなら仮想デスクトップです。

仮想デスクトップに対応していない場合は、仮想デスクトップソフトを入れることで動くかも。「仮想デスクトップ」でググれば情報があると思いますので試してみてはいかがでしょう？