その通信機とやらがどこにあるのかが非常に問題となるなぁー。

一度消去したら手に入らないというのは幾ら何でもあり得ないと思う。

手に入れる方法は自分で探して貰うとして、マスターボールのようにストーリー中1個しか手に入らないようなアイテムだったら捨てたら二度と手に入らないと思うぞ。

博士の通信機を使う、モンスターカードのクエストの事でしょうか？
もしそちらの事でしたら・・・

・クエストは、テイルズID内のキャラクターで一度しか進行することができません。
・クエストは、NPC「酒熊博士」から直接受諾することはできません。遠隔クエスト受注ボタンから受諾してください。

wikiの方にはこのような記載がありましたので、同じテイルズID内のキャラクターで進行済みの場合は
他キャラでは受けれないと思います。

私のあるテイルズIDでは、なぜかIDにあるキャラ4体のうち2体が通信機を持っています。
しかし、どうやって取得したのかわかりません。
残念ながら運営に問い合わせるしか手段が思い浮かびません。しかも対応してくれる類の問題か不明。